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设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f’’(x)≥0.证明:
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f’’(x)≥0.证明:
admin
2018-05-25
55
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶可导且f’’(x)≥0.证明:
选项
答案
由泰勒公式得 [*] 其中ξ介于x与[*]之间,因为f’’(x) ≥0,所以有 [*] 两边积分得∫
a
b
f(x)dx≥(b-a)f [*] 令φ(x)=[*][f(x)+f(a)]-∫
a
x
f(t)dt,且φ(a)=0, [*] 其中a≤η≤x,因为f’’(x)≥0,所以f’(x)单调不减,于是φ’(x)≥0(a≤x≤b), 由 [*] 得φ(b)≥0,于是∫
a
b
f(x)dx≤[*][f(a)+f(b)],故 [*]
解析
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考研数学三
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