2. 考研
  3. 设f(χ)在[1，＋∞)内可导，f′(χ)＜0且，f(χ)＝a＞0，令an＝f(k)－∫1nf(χ)dχ．证明：(an)收敛且0≤≤f(1)．

设f(χ)在[1，＋∞)内可导，f′(χ)＜0且，f(χ)＝a＞0，令an＝f(k)－∫1nf(χ)dχ．证明：(an)收敛且0≤≤f(1)．

admin2017-09-15  49
问题 设f(χ)在[1，＋∞)内可导，f′(χ)＜0且，f(χ)＝a＞0，令an＝f(k)－∫1nf(χ)dχ．证明：(an)收敛且0≤≤f(1)．
选项
答案因为f′(χ)＜0，所以f(χ)单调减少． 又因为an+1－an＝f(n＋1)－∫nn+1f(χ)dχ＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])， 所以{an}单调减少． 因为an＝[*][f(k)－f(χ)]dχ＋f(n)，而∫kk+1[f(k)－f(χ)]dχ≥0(k＝1，2，…，n－1) 且[*]f(χ)＝a＞0，所以存在X＞0，当χ＞X时，f(χ)＞0． 由f(χ)单调递减得f(χ)＞0(χ∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以[*]存在． 由an＝f(1)＋[f(2)－∫12f(χ)dχ]＋…＋[f(n)－∫n-1nf(χ)dχ]， 而f(k)＝∫k-1kf(χ)dχ≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤[*]≤f(1)．
解析
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考研数学二

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