下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

admin2018-12-29 15

问题下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析 A选项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。
B选项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。
C选项是秩为1的矩阵，由｜λE—A｜=λ³—4λ²，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。
D选项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，—1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，
由秩

可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，因此矩阵必不能相似对角化，故选D。

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考研数学一

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