2. 考研
  3. 设χOy平面第一象限中有曲线г：y＝y(χ)，过点A(0，－1)，y′(χ)＞0．又M(χ，y)为г上任意一点，满足：弧段的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y＝y(χ)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(χ)满足

设χOy平面第一象限中有曲线г：y＝y(χ)，过点A(0，－1)，y′(χ)＞0．又M(χ，y)为г上任意一点，满足：弧段的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y＝y(χ)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(χ)满足

admin2017-11-21  51
问题 设χOy平面第一象限中有曲线г：y＝y(χ)，过点A(0，－1)，y′(χ)＞0．又M(χ，y)为г上任意一点，满足：弧段的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为－1．
    (Ⅰ)导出y＝y(χ)满足的积分、微分方程；
    (Ⅱ)导出y(χ)满足的微分方程和初始条件；
    (Ⅲ)求曲线г的表达式．
选项
答案(Ⅰ)先求出г在点M(χ，y)处的切线方程 Y－y(χ)＝y′(χ)(X－χ)， 其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y＝0，得χ轴上的截距 [*] 又弧段[*]的长度为[*]，按题意得 [*] 这是y(χ)满足的积分、微分方程． (Ⅱ)两边对χ求导，就可转化为二阶微分方程： [*] 又由条件及①式中令χ＝0得 y(0)＝[*]－1，y′(0)＝1． 因此得y(χ)满足的二阶微分方程的初值问题 [*] 问题①与②是等价的． (Ⅲ)下面求解②．这是不显含χ的二阶方程，作变换P＝y′，并以y为自变量得 [*] 由y＝[*]－1时 [*] 将上面两式相减 [*] 再积分得χ＝[*]＋C， 其中C＝[*]．则③就是所求曲线г的表达式．
解析
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考研数学二

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