若r(Am×n)=n，则对任何Bn×p，有r(AB)=r(B)．即用列满秩矩阵A(A的秩等于A的列数，则称A为列满秩矩阵)左乘B，不改变矩阵的秩．

admin2018-07-27 18

问题若r(A_m×n)=n，则对任何B_n×p，有r(AB)=r(B)．即用列满秩矩阵A(A的秩等于A的列数，则称A为列满秩矩阵)左乘B，不改变矩阵的秩．

选项

答案若Bx=0，两端左乘A，得ABx=0，这说明方程组Bx=0的解都是方程组ABx=0的解；反之，若ABx=0，即A(Bx)=0，因A的列向量组线性无关，故方程组Ax=0只有零解，因此由A(Bx)=0得Bx=0，这说明ABx=0的解都是Bx=0的解．以上两方面说明方程组Bx=0与方程组ABx=0同解，由r(A)=r(B)即得r(AB)=r(B)．

解析

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考研数学三

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