已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex, (1)求f(x)的表达式; (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点.

admin2019-03-12  41

问题 已知函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex
(1)求f(x)的表达式;
(2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点.

选项

答案(1)齐次微分方程f”(x)+f’(x)一f(x)=0的特征方程为r2+r一2=0,特征根为r1=1,r2=-2, 所以其通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x. 再由 f”(x)+f(x)=2ex 得 2C1ex+5C2e-2x=2ex, 比较函数可得 C1=1,C2=0. 故 f(x)=ex [*] 令y”=0得x=0. 为了说明x=0是y”=0唯一的解,我们来讨论y”在x>0和x<0时的符号. 当x>0时, [*] 可知y”>0; 当x<0时, [*] 可知y”<0; 因此x=0是y”=0唯一的解. 同时,由上述讨论可知曲线 y=f(x2)∫0xf(-t2)dt, 在x=0左右两边的凹凸性相反,可知(0,0)点是曲线y=f(x2)∫02f(一t2)dt唯一的拐点.

解析
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