设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2016-10-20 45

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α，且A^k-1α≠0．
证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案(1)(定义法，同乘) 设有常数l₁，l₂，…，l_k，使得 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0，用A^k-1左乘上式，得A^k-1(l₁α+l₂Aa+…+l_kA^k-1α)=0．由A^kα=0，知A^k+1α=A^k+2α=…=0，从而有l₁A^k-1α=0．因为A^k-1α≠0，所以l₁=0．类似l₂=l₃=…=l_k=0，故向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关． (2)(友证法) 如α，Aα，A²α，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的数l₁，l₂，…，l_k，使 l₁α+l₂Aα+…+l_kA^k-1α=0．设l₁，l₂，…，l_k中第一个不为0的数是l_i，则 l_iA^i-1α+l_i+1Aⁱα+…+l_kA^k-1α=0．用A^k-i左乘上式，利用A^kα=A^k+1α=…=0，得l_iA^k-1α=0．由于l_i≠0，得A^k-1α=0，与已知矛盾．

解析

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学三

A、 B、 C、 D、 C

设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是()．

设α1，α2，…，αr(r≤n)是互不相同的数，αi=(1，αi，αi2，…，αin-1)(i=1，2，…，r)，问α1，α2，…，αr是否线性相关?

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)，求：(1)向量组的秩；(2)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示．

A、 B、 C、 D、 D根据事件的并的定义，凡是出现“至少有一个”，均可由“事件的并”来表示，而事件“不发生”可由对立事件来表示，于是“A，B，C至少有一个不发生”等价于“A，B，C中至少有一个发生”，故答

一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵，若使用100h后，雷达失灵的概率为0．1，计算机失灵的概率为0．3，若两部分失灵与否相互独立，求这个报警器使用100h而不失灵的概率．

下列各函数均为x→0时为无穷小，若取x为基本无穷小，求每个函数的阶：

利用极坐标将积分，化成一元函数积分式，其中f连续．

已知级数，则：(1)写出级数的第五项和第九项u5，u9；(2)计算出部分和S3，S10；(3)写出前几项部分和Sn的表达式；(4)用级数收敛的定义验证该级数收敛，并求和．

设函数y＝f(x)有三阶连续导数，其图形如图29所示，其中l1与l2分别是曲线在点(0，0)与(3，2)处的切线．试求积分

将政策评估分为内部评估和外部评估的依据是()

A、柴胡B、淡豆豉C、浮萍D、葛根E、升麻既疏散风热，又疏肝的药是()。

只有中国公民才可以申请个人汽车贷款。()

简述脑机能的定位说和整体说。

关系数据库的基本对象是表、视图和【】。

Afterthebirthofmysecondchild,Igotajobatarestaurant.Havingworkedwithanexperienced【C1】______forafewdays,Iwa

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Theproposal______,we’llhavetomakeanotherdecisionaboutwhentostarttheproject.

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设α1，α2，…，αr(r≤n)是互不相同的数，αi=(1，αi，αi2，…，αin-1)(i=1，2，…，r)，问α1，α2，…，αr是否线性相关?

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)，求：(1)向量组的秩；(2)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示．

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利用极坐标将积分，化成一元函数积分式，其中f连续．

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设函数y＝f(x)有三阶连续导数，其图形如图29所示，其中l1与l2分别是曲线在点(0，0)与(3，2)处的切线．试求积分

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