求函数f(x)=(2-t)e-tdt的最值.

admin2016-10-26  17

问题 求函数f(x)=(2-t)e-tdt的最值.

选项

答案由于f(x)是偶函数,我们只需考察x∈[0,+∞).由变限积分求导公式得 f′(x)=2x(2-x2)e-x2. 解f′(x)=0得x=0与x=[*],于是 [*] 从而,f(x)的最大值是f([*])=[*]e-tdt =2+e-t[*]=1+e-2. 由上述单调性分析,为求最小值,只需比较f(0)与[*]f(x)的大小.由于 [*]=1>f(0)=0, 因此f(0)=0是最小值.

解析  f(x)的定义域是(-∞,+∞),由于它是偶函数,故只需考虑x∈[0,+∞).求f′(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性.由于需要考察f(0)是否为最值,还需讨论极限值f(x).
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