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  3. 求正交矩阵Q，将实对称矩阵A=化为对角矩阵．

求正交矩阵Q，将实对称矩阵A=化为对角矩阵．

admin2016-11-03  17
问题 求正交矩阵Q，将实对称矩阵A=化为对角矩阵．
选项
答案方法一 因A的特征多项式为 ｜λE一A｜=(λ一2)2(λ一8)， 故A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=8． 现分别求出属于它们的线性无关的特征向量． 当λ1=λ2=2时，解(2E一A)X=0．由 [*] 得到属于λ1=λ2=2的线性无关的特征向量为 α1=[一1，1，0]T，α2=[一1，0，1]T． 用施密特方法将α1与α2正交化，为此令β1=α1=[一1，1，0]T，则 β2=α2[*] 于是β1，β2为相互正交的特征向量． 当λ3=8时，解(8E－A)X=0．因 [*] 由基础解系的简便求法知，属于λ=8的特征向量为 α3=[1，1，1]T． 将β1，β2，α3单位化分别得到 [*] 则所求的正交矩阵 Q=[η1，η2，η3]=[*] 方法二 因A有二重特征值λ1=λ2=2，可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵． 已知α1=[一1，1，0]T为属于λ1=2的一个特征向量．设属于λ1=2的另一特征向量为[x1，x2，x3]T=X．下求X使之与α1正交． 因X为λ1=2的另一特征向量，故必满足系数矩阵为①的方程，即 [*] 故 x1+x2+x3=0． ② 又X与α1正交，有XTα1=0，即 一x1+x2=0． ③ 联立式②、式③得到 [*] 故 X=[一1／2，一1／2，1]T， 则α1，X，α3为两两正交的向量组，将其单位化得到 [*] 于是所求的正交矩阵为 Q=[η1，η2，η3]=[*]
解析 一般用施密特正交化的方法求出正交矩阵Q，使Q－1AQ为对角矩阵．但如A的特征值中含有一个二重特征值，也可不必用施密特正交化的方法，而用基础解系正交化的方法求出正交矩阵Q，使Q－1AQ为对角阵．
其一般步骤是先求出二次型矩阵的特征值、特征向量，将属于同一特征值的线性无关的特征向量正交化，再将所有特征向量单位化，使这些正交单位特征向量为列向量所构成的矩阵即为所求的正交矩阵，它也是正交变换的变换矩阵．
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