设A=是n阶非零矩阵，且aij全为实数．已知A的每一个元素aij都等于它自己的代数余子式，证明A的秩等于n．

admin2021-11-15 4

问题设A=

是n阶非零矩阵，且a_ij全为实数．已知A的每一个元素a_ij都等于它自己的代数余子式，证明A的秩等于n．

选项

答案记A_ij为a_ij的代数余子式，则A_ij=a_ij，i，j=1，2，…，n．故 [*] 于是AA^T=AA*=|A|E．比较两端的对角线上的元素得 a_i1²+a_i2²+…+a_in²=|A|，i=1，2，…，n．由A≠O知必有某元素a_kj≠0，从而可得|A|=a_k1²+a_k2²+…+a_kj²+…+a_kn²≠0，因此R(A)=n．

解析

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考研数学一

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