2. 考研
  3. 设函数u(χ，y)，v(χ，y)具有一阶连续偏导数，且满足．C为包围原点的正向闭曲线．证明： (Ⅰ)[(χv－yu)aχ＋(χu＋yv)dy]＝[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]， 其中Cr＋是以原点为心r为半径的圆周，取逆时针方向

设函数u(χ，y)，v(χ，y)具有一阶连续偏导数，且满足．C为包围原点的正向闭曲线．证明： (Ⅰ)[(χv－yu)aχ＋(χu＋yv)dy]＝[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]， 其中Cr＋是以原点为心r为半径的圆周，取逆时针方向

admin2018-06-12  43
问题 设函数u(χ，y)，v(χ，y)具有一阶连续偏导数，且满足．C为包围原点的正向闭曲线．证明：
    (Ⅰ)[(χv－yu)aχ＋(χu＋yv)dy]＝[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]，
    其中Cr＋是以原点为心r为半径的圆周，取逆时针方向，r充分小使Cr＋在C所围区域内；
    (Ⅱ)[(χv－yu)dχ＋(χu＋yv)dy]＝2πu(0，0)．
选项
答案(Ⅰ)由题设可知，记P＝[*](χv，yu)，Q＝[*](χu＋yv)，则 [*] 从而[*][2u(χ2＋y2)－2u(χ2＋y2)]＝0．(χ2＋y2≠0) 在C与Cr+所围的区域D上用格林公式得 [*] 其中Cr-为顺时针方向(如图25—2)． [*] 于是∮CPdχ＋Qdy＝[*]＋Pdχ＋Qdy． 即结论(Ⅰ)成立． (Ⅱ)在Cr+上χ2＋y2＝r2，由结论(Ⅰ)得 ∮CPdχ＋Qdy＝[*]P1dχ＋Q1dy 其中P1(χ，y)＝χv－yu，Q1(χ，y)＝χu＋yv． [*] 在Cr+围成的区域D，上用格林公式得 [*] 再由二重积分中值定理得，[*](ξ，η)∈D，使得 [*]udσ＝πr2(ξ，η)， 因此，对[*]充分小的r＞0，就有 ∮CPdχ＋Qdy＝[*].πr2u(ξ，η)＝2πu(ξ，η)． 令r→0得∮CPdχ＋Qdy＝2πu(0，0)．
解析
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考研数学一

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