2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0，试证存在ξ，η∈(a，b)，使

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0，试证存在ξ，η∈(a，b)，使

admin2019-03-22  69
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0，试证存在ξ，η∈(a，b)，使
         
选项
答案证一 本题要证的结论中出现两个中值ξ和η．这类问题首先将含有ξ和η的项分别移到等式两端，再考虑应用微分中值定理．先用哪个微分中值定理呢?这就要看变形后的等式中哪一端出现拉格朗日中值定理或柯西中值定理一端的形式．变形后，得到 [*] 观察上式的左端，它恰是对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理的结果： f(b)—f(a)=f’(ξ)(b-a) (a＜ξ＜b)． 于是首先想到使用拉格朗日中值定理，得到 f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) (a＜ξ＜b)． ② 其次再考察式①的右端，注意到[*]它是两个函数f(x)与ex在x=η处的导数之比．这自然又使人想到用柯西中值公式： [*] 由式②与式③即得[*]即[*] 证二 分离中值将待证等式改写为 [*] 因中值η的导数值在此中值等式的右端有f’(η)及(eη)’=eη，且分别在分子、分母上可将f(x)，ex这两个函数视为f(x)，g(x)=ex，即式④中f’(η)／eη是对f(x)和ex使用柯西中值定理的结果．对g(x)=ex和f(x)在[a，b]上使用该定理，得到 [*] 将式⑤代入式④易看出式④中f’(ξ)应视为对f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理的结果，于是对f(x)在[a，b]上使用该定理，得到 f(b)—f(a)=f’(ξ)(b-a)， ξ∈(a，b)， ⑥ 将式⑥代入式⑤，得到 f’(ξ)(b-a)／(eb一ea)=f’(η)／eη． 由题设有f’(x)≠0，故f’(η)≠0，从而 [*]
解析
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考研数学三

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