设函数f(χ)在(-∞,+∞)上连续,则( )

admin2017-11-30  27

问题 设函数f(χ)在(-∞,+∞)上连续,则(    )

选项 A、函数∫0χt2[f(t)+f(-t)]dt必是奇函数。
B、函数∫0χt2[f(t)-f(-t)]dt必是奇函数。
C、函数∫0χ[f(t)]3dt必是奇函数。
D、函数∫0χf(t3)dt必是奇函数。

答案A

解析 令F(χ)=χ2[f(χ)+f(-χ)],由题设知F(χ)是(-∞,+∞)上的连续函数,且
    F(-χ)=(-χ)2[f(-χ)+f(χ)]=χ2[f(χ)+f(-χ)]=F(χ),
    即F(χ)是偶函数,于是对任意的χ∈(-∞,+∞),
    G(χ)=∫0χt2[f(t)+f(-t)]dt=∫0χf(t)dt,
    满足G(-χ)=∫0-χF(t)dt0χF(-u)(-du)
    =-∫F(-u)du=-F(u)du=-G(χ),
    即G(χ)是奇函数,故选项A正确。
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