设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得

admin2016-10-24 29

问题设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
证明：存在ξ₁，ξ₂∈[一a，a]，使得

选项

答案上式两边积分得f(x)dx=[*]f⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx．因为f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[一a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx¹≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[一a，a]上积分得[*]a⁵≤∫_a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤[*]a⁵，从而 [*] 于是m≤[*]f(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ₁∈[一a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)=[*] 或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60f(x)dx．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[一a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_一a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂)．

解析

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考研数学三

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