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  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令求证：　　 (1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数． (2)

设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令求证：　　 (1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数． (2)

admin2017-05-31  22
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，令求证：　　
(1)F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数．
(2)
选项
答案(1)由 [*] 令[*]则φ(x)=F(x)一kx是以T为周期的周期函数．从而有F(x)=kx+φ(x)． (2)因为 [*] 不一定存在，所以不能用洛必塔法则求该极限． 但[*]可写成：[*] φ(x)在(一∞，+∞)连续且以T为周期．于是φ(x)在[0，T]上有界，在(一∞，+∞)上有界，所以， [*] (无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)
解析 只要确定常数k，使得φ(x)=F(x)一kx以T为周期．
(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，则有如下结论：
    1)f(x)的原函数是以T为周期的函数的充分必要条件是
    2)
    3)
(2)对存在或为无穷大量时，可由洛必塔法则得知但当不存在且不为无穷大量时，不能断定不存在．
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