二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

admin2019-01-23 422

问题二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX在正交变换X＝QY下化为10y₁²－4y₂²－4y₃²，Q的第1列为

(1)求A．
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

选项

答案(1)Q的第1列α₁＝[*]是A的属于10的特征向量，其[*]倍η₁＝(1，2，3)^T也是属于10的特征向量．于是A的属于一4的特征向量和(1，2，3)^T正交，因此就是方程χ₁＋2χ₂＋3χ₃＝0的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η₂＝(2，－1，0)^T，η₃＝(1，2，[*])^T．建立矩阵方程A(η₁，η₂，η₃)＝(10η₁，－4η₂，－4η₃)，用初等变换法解得 [*] (2)将η₂，η₃单位化得α₂＝[*](2，－1，0)^T， α₃＝[*](3，6，－5)^T．则正交矩阵Q＝(α₁，α₂，α₃)满足要求．

解析

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二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为10y12－4y22－4y32，Q的第1列为 (1)求A． (2)求一个满足要求的正交矩阵Q．

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