设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式。

admin2018-04-14 31

问题设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式。

选项

答案设u=e^xcosy，则z=f(u)=f(e^xcosy)，分别对x，y求导得 [*] =f"(u)e^2xcos²y+f’(u)e^xcosy， [*] =f"(u)e^2xsin²y－f’(u)e^xcosy，则 [*]=f"(u)e^2x=f"(e^xcosy)e^2x。由已知条件[*]=(4z+e^xcosy)e^2x，可知f"(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。对应齐次方程的通解为 f(u)=C₁e^2u+C₂e^－2u，其中C₁，C₂为任意常数。设非齐次方程的特解为y^*=ax+b，代入可得a=－1／4，b=0。对应非齐次方程特解为y^*=－1／4u。故非齐次方程通解为f(u)=C₁e^2u+C₂e^－2u－[*]u。将初始条件f(0)=0，f’(0)=0代入，可得C₁=1／16，C₂=－1／16，所以f(u)的表达式为 [*]

解析

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考研数学二

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