设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x,若f(0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式。

admin2018-04-14  34

问题 设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x,若f(0)=0,f’(0)=0,求f(u)的表达式。

选项

答案设u=excosy,则z=f(u)=f(excosy),分别对x,y求导得 [*] =f"(u)e2xcos2y+f’(u)excosy, [*] =f"(u)e2xsin2y-f’(u)excosy, 则 [*]=f"(u)e2x=f"(excosy)e2x。 由已知条件[*]=(4z+excosy)e2x,可知f"(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。 对应齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u,其中C1,C2为任意常数。 设非齐次方程的特解为y*=ax+b,代入可得a=-1/4,b=0。 对应非齐次方程特解为y*=-1/4u。故非齐次方程通解为f(u)=C1e2u+C2e-2u-[*]u。 将初始条件f(0)=0,f’(0)=0代入,可得C1=1/16,C2=-1/16,所以f(u)的表达式为 [*]

解析
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