假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=,P{Y=1}=,求: (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z); (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).

admin2018-11-23  29

问题 假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=-1}=,P{Y=1}=,求:
    (Ⅰ)Z=XY的概率密度fZ(z);
    (Ⅱ)V=|X-Y|的概率密度fV(v).

选项

答案(Ⅰ)依题意P{Y=-1}=[*],P{Y=1}=[*],X~N(0,1)且X与Y相互独立,于是Z=XY的分布函数为 FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z|Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=-1}P{-X≤z|Y=-1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=-1}P{X≥-z}+P{Y=1}P{X≤z} =[*][1-P}X<-z}]+[*]P{X≤z} =[*], 即Z=XY服从标准正态分布,其概率密度为 fZ(z)=φ(z)=[*]. (Ⅱ)由于V=|X-Y|只取非负值,因此当v<0时,其分布函数FV(v)=P{|X-Y|≤v}=0;当v≥0时, FV(v)=P{-v≤X-Y≤v} P{Y=-1}P{-v≤X-Y≤v|Y=-1}+P{Y=1}P{-v≤X-Y≤v|Y=1} =[*]P{v-1≤X≤v-1|Y=-1}+[*]{-v+1≤X≤v+1|Y=1} =[*]P{-v-1≤X≤v-1}+[*]P{-v+1≤X≤v+1} =[*][Ф(v-1)-Ф(-v-1)]+[*][Ф(v+1)-Ф(-v+1)] =[*]Ф(v-1)-[*][1-Ф(v+1)]+[*](v+1)-[*][1-Ф(v-1)] =Ф(v-1)+Ф(v+1)-1. 综上计算可得 [*] 由于FV(v)是连续函数,且除个别点外,导数存在,因此V的概率密度为 [*]

解析
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