设A=,α1=,向量α2,α3满足Aα2=α1,A2α3=α1。 证明:α1,α2,α3线性无关。

admin2022-03-23  33

问题 设A=1=,向量α2,α3满足Aα21,A2α31
证明:α1,α2,α3线性无关。

选项

答案方法一 由上一问得知,α2=(k1,-k1,2k1+1)T,α3=(-[*]-k2,k2,k3)T,其中k1,k2,k3为任意常数 |α1,α2,α3|=[*] 故α1,α2,α3线性无关。 方法二 设存在一组数k1,k2,k3,使得 k1α1+k2α2+k3α3=0 (*) 由Aα1=0,则(*)式两边同时左乘A,有 k22+k33=0,即k2α1+k33=0 (**) (**)式两边同时左乘A,有k32A2α3=0,即k3α1=0,由α1≠0可得,k3=0. 代入(**)式,得k2=0 将k2=k3=0代入(*)式得k1=0,故α1,α2,α3线性无关。

解析
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