(13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

admin2018-07-27  29

问题 (13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

选项

答案设(x,y)为曲线上的点,目标函数为f(x,y)=x2+y2,构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1). 令 [*]=2x+(3x2一y)λ=0① [*]=2y+(3y2一x)λ=0② [*]=x3一xy+y3一1=0③ 当x>0,y>0时,由①,②得[*]即3xy(y—x)=(x+y)(x一y).得y=x,或3xy=一(x+y)(由于x>0,y>0,舍去). 将y=x代入③得2x3-x2一1=0,即(2x2+x+1)(x-1)=0,所以(1,1)为唯一可能的极值点,此时[*] 当x=0,y=1或x=1,y=0时[*] 故所求最长距离为[*],最短距离为1.

解析
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