设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )。

admin2021-01-31 45

问题设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβ^T，则A的线性无关的特征向量个数为( )。

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析令Ax=λX，则A²X=λ²X，
因为α，β正交，所以α^Tβ=β^Tα=0，
A²=αβ^T×αβ^T=0，于是λ²X=0，故λ₁=λ₂=λ₃=λ₄=0，
因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故rA≥1；
又rA=r(αβ^T)≤r(α)=1，所以rA=1，
因为4-r(0E-A)=4-rA=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C。

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