若函数f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,且f(0)<0,f′(x)≥k>0,则在(0,+∞)内f(x)

admin2018-11-22  22

问题 若函数f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,且f(0)<0,f′(x)≥k>0,则在(0,+∞)内f(x)

选项 A、没有零点.
B、至少有一个零点.
C、只有一个零点.
D、有无零点不能确定.

答案C

解析 讨论函数的零点,一般要用连续函数在闭区间上的介值定理.根据拉格朗日中值定理,
f(x)=f(0)+f′(ξ)x(0<ξ<x),得f(x)≥f(0)+kx.显然当x足够大时f(x)>0
(事实上只需x>),又f(0)<0,这就表明在(0,x)内存在f(x)的零点,又f′(x)>0,即有f(x)单调增加,从而零点唯一,故选(C).
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