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[2016年] 已知f(x)在[0,]上连续,在(0,)内是函数的一个原函数,f(0)=0.证明:f(x)在区间(0,)内存在唯一零点.
[2016年] 已知f(x)在[0,]上连续,在(0,)内是函数的一个原函数,f(0)=0.证明:f(x)在区间(0,)内存在唯一零点.
admin
2019-04-05
49
问题
[2016年] 已知f(x)在[0,
]上连续,在(0,
)内是函数
的一个原函数,f(0)=0.证明:f(x)在区间(0,
)内存在唯一零点.
选项
答案
先证f(x)在(0,[*])内无零点,再证在[*]内有唯一零点,为此证f(x)在该区间内单调,且[*]<0. 证 (II):因f'(x)=[*],当x∈(0,[*])时,2x一3π<0,故f'(x)<0.所以当x∈(0,[*])时,f(x)单调减少,而f(0)=0,故当x∈(0,[*])时,f(x)<f(0)=0, 即f(x)在(0,[*])内无零点. 因x∈(0,[*])时,f(x)单调减少,故f([*])<f(0)=0. 知,f(x)在区间[*]上的平均值为[*] 又x∈[*]时,f'(x)=[*]而cosx<0,2x一3π<0,故f'(x)>0, 即x∈[*]时,f(x)单调增加,设f(x)在[*]内的平均值为[*],则 [*]内f(x)<0)>0. 因f(x)在[*]单调增加,且f[*]<0,由命题1.1.7.5知,在该区间内f(x)有唯一零点,而f(x)在(0,[*])内无零点,因而f(x)在(0,[*])内有唯一零点.
解析
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考研数学二
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