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  3. 设F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt，则F(x)

设F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt，则F(x)

admin2014-01-26  48
问题 设F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt，则F(x)
选项 A、为正常数．   
B、为负常数．   
C、恒为零．   
D、不为常数．
答案A
解析 [分析]  被积函数以2π为周期，利用周期函数的积分性质进行计算．
[详解]  由于esintsint是以2π为周期的，因此
F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt＝∫02xesintsintdt
＝ －∫02πesintdcost＝0＋∫02πesintcos2tesintdt＞0。
故应选(A)．
    [评注]  四个选项均与F(x)是否为常数有关，可考虑对F(x)求导，看其导数是否为零：
  F’(x)＝ (∫x2x＋πesintsintdt)’＝esin(x＋2π)sin(x＋2π)－esinxsinx≡0，
于是F(x)＝C，从而有
    F(x)＝F(0)＝∫02πesintsintdt＝∫0πesintsintdt＋∫02πesintsintdt，
而，

可见    F(x)＝∫0π(esint－e－sint)sintdt＝∫0πe－sint(e2sint－1)sintdt＞0．
得正确选项(A)．
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考研数学二

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