[2013年] 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 证明二次型厂对应的矩阵为2ααT+ββT;

admin2019-05-16  32

问题 [2013年]  设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记

证明二次型厂对应的矩阵为2ααT+ββT

选项

答案令X=[x1,x2,x3]T,则 a1x1+a2x2+a3x3=[x1,x2,x3][*] b1x1+b2x2+b3x3=[x1,x2,x3][*] 故2(a1x1+a2x2+a3x3)2=2(a1x1+a2x2+a3x3)(a1x1+a2x2+a3x3) =2[x1,x2,x3] [*] =2(XTα)(αTX)=2XT(ααT)X. 同法,可求得 (b1x1+b2x2+b3x3)2=XT(ββT)X, 故f(x1,x2,x3)=XT(2ααT+ββT)X.又因 (2ααT+ββT)T=2(ααT)T+(ββT)T=2ααT+ββT, 即2ααT+ββT为对称矩阵,所以二次型厂对应的矩阵为A=2ααT+ββT

解析
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