设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

admin2016-02-27 45

问题设向量α₁，α₂，…，α_r是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_r线性无关．

选项

答案对于抽象向量组的线性相关性的证明常用定义证之．注意到待证线性无关的向量组可以看成是一组可以写成另一组向量β，α₁，α₂，…，α_n的线性组合的向量组．如能证明β₁，α₁，α₂，…，α_n线性无关，也可用矩阵表示法证之．证一设有一组数k，k₁，k₂，…，k_r，使 [*] 则有 [*] 上式两边同时左乘A，有 [*] 而Aβ≠0，故必须有 [*] 把式②代入式①得 [*] 由于α₁，α₁，…，α_r为Ax=0的基础解系，α₁，α₂，…，α_r必线性无关，故 k₁=k₂=…一k_r=0． ③ 将式③代入式②得k=0，故向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_r线性无关．证二用矩阵表示法证之．先证α₁，α₂，…，α_n，β线性无关，可用反证法证之．如果α₁，α₂，…，α_n，β线性相关，而α₁，α₂，…，α_n线性无关，故β可由α₁，α₂，…，α_n线性表示．设 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n．在上式两端左乘A，得到 Aβ=k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_nAα_n=0+0+…+0=0．这与Aβ≠0矛盾，故α₁，α₂，…，α_n，β线性无关．又因 [*] =[β，α₁，α₂，…，α_n]K．显然∣K∣=1≠0，故β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_n线性无关．

解析

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考研数学二

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设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

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一个空间的容积为64升的鼓形圆桶上有A、B两孔，一种蒸馏水从A孔流入同时从B孔流出，如果通过A孔的流速为3升／小时，那么在B孔的流速为多少升／小时才能保证用96小时恰好装满该容器?()

炎热的夏天，蜻蜓经常贴着水面飞行，尾部不时触到水里，溅起朵朵水花，这就是“蜻蜓点水”，对此正确的解释是()。

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根据菲利普斯曲线．降低通货膨胀率的办法是()。

基因工程在医学方面的应用是制造“超级药物”以消除遗传疾病及癌症、艾滋病等绝症，其主要方向不包括()。

函数f(x)=x2一ax+b在[1，3]上的最大值与最小值的差为1。(1)a=4；(2)a=一4。

设f(x)，g(x)二阶可导，又f(0)=0，g(0)=0，f’(0)＞0，g’(0)＞0，令F(x)=∫0xf(t)g(t)dt，则

病人舌苔花剥提示

图(a)所示运算放大器的输出与输入之间的关系如图(b)所示，若ui=2sinωtmV，则u0为()。

一级域名可以分成两大类，即()。

某公司发行的每股普通股的市场价格为15.7元，认股权证的每股普通股的认购价格为14.27元，若换股比例为10时，该认股权证的内在价值是(　　)元。

若Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，则＝()．

科举是我国古代通过考试选拔官吏的一种制度。假如古代某位考生在参加某级科举考查试中获得“解元”，即该级考试第一名，那么，他之后通常应参加的更高一级考试是()。

在延安时期，①开展了整风运动；②三五九旅在王震的率领下，奉命开进南泥湾；③召开延安文艺工作者座谈会。上述历史事件出现的先后顺序是()。

Forthefirsttimeinhistory,theEarthhasmorepeopleovertheageof65thanundertheageoffive.Inanothertwodecadest

Telecommutingisanewformofwork______towork,suchasfatherswithchildren,thechancetoworkwhileremainingathome.

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