设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A-1一E|=______.

admin2019-04-08  25

问题 设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A-1一E|=______.

选项

答案3

解析 所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关,现用加强条件法求出此结果.如A与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵P,使得
P-1AP=diag(1,2,2)=Λ,即A=PΛP-1
于是A-1=PΛ-1P-1,4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1.两端取行列式有
|4A-1一E|=|P||4Λ-1一E||P-1|=|4Λ-1一E|=|4diag(1,1/2,1/2)一E|=3.
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