已知n维列向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr(r<n)线性无关,则n维列向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βr线性无关的充分必要条件为( )

admin2019-03-23  26

问题 已知n维列向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr(r<n)线性无关,则n维列向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βr线性无关的充分必要条件为(    )

选项 A、β1,β2,…,βr可由α1,α2,…,αr线性表示。
B、α1,α2,…,αr可由β1,β2,…,βr线性表示。
C、α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βr等价。
D、矩阵A=(α1,α2,…,αr)与B=(β1,β2,…,βr)等价。

答案D

解析 对于选项A,由已知条件只能得出R(Ⅱ)≤R(Ⅰ)=r,但不能得出R(Ⅱ)=R(Ⅰ)=r,故A项不正确。
对于选项B,由已知条件知r=R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)≤r,于是R(Ⅱ)=r,即β1,β2,…,βr线性无关。因而B项是充分条件。但若β1,β2,…,βr线性无关,是不能得出α1,α2,…,αr可由β1,β2,…,βr线性表出的结论。例如,(Ⅰ):e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T;(Ⅱ):e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T,(Ⅰ)(Ⅱ)均线性无关,但(Ⅰ)不可由(Ⅱ)线性表出,故B项错误。
对于选项C,由于B项不是必要条件,则C项就不可能是必要条件。
对于选项D,注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等,由题设知R(A)=R(Ⅰ)=r,则A与B等价β1,β2,…,βr线性无关,所以D选项是正确的,故选D。
本题主要考查的是向量组等价的相关问题。根据线性表示的向量组之间秩的关系能快速排除A、B选项,但C、D选项具有一定的迷惑性,需要充分认识矩阵等价与向量组等价的异同点:
①等价的向量组有相等的秩,等价的矩阵也有相等的秩;
②有相等秩的两个同型矩阵必等价,但有相等秩的两个同维向量组未必等价(如果其中一组还可由另一组线性表出,则必等价)。
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