已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是

admin2014-02-05  39

问题 已知α1234是3维非零向量,则下列命题中错误的是

选项 A、如果α4不能由α4,α123线性表出,则α123线性相关.
B、如果α123线性相关,α234线性相关,那么α124也线性相关.
C、如果α3不能由α1,α2线性表出,α4不能由α2,α3线性:表出,则α1可以由α234线性表出.
D、如果秩r(α1,α12,α23)=r(α4,α14,α24,α34),则α4可以由α1,α2,α3线性表出.

答案B

解析 例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,2,0)T,α4=(0,0,1)T,可知B不正确.应选B.关于A:如果α123线性无关,又因α1234是4个3维向量,它们必线性相关,而知α4必可由α123线性表出.关于C:由已知条件,有(1)r(α1,α2)≠r(α123),(Ⅱ)(α123)≠r(α2,α3,α4).若r(α23)=1,则必有r(α12)=r(α123),与条件(I)矛盾.故必有r(α2,α3)=2.那么由(Ⅱ)知r(α234)=3,从而r(α1234)=3.因此α1可以由α2,α3,α4线性表出关于(D):经初等变换有(α1,α12,α23)→(α1,α2,α23)→(α123),(α4,α14,α24,α34)→(α4,α1,α2,α2)→(α1234),从而r(α1,α2,α3)=r(α1234).因而α4可以由α1,α2,α3线性表出.
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