设α1,α2……αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2019-08-12 31

问题设α₁,α₂……α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

选项 A、若α₁,α₂……α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
B、若α₁,α₂……α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．
C、若α₁,α₂……α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
D、若α₁,α₂……α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．

答案A

解析本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性．
可用定义分析：λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_sα_s=0中，若存在λ₁，λ₂，…，λ_s是一组不全为零数时，向量组α₁,α₂……α_s是线性相关的；若只有当λ₁,λ₂……λ_s都为零数时，向量组α₁,α₂……α_s是线性无关的．也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数．
若α₁,α₂……α_s线性相关，则存在不全为零的数k₁,k₂,……，k_s，使k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0，在等式的两端左乘矩阵A得k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)=A0=0．由于k₁,k₂,……，k_s不全为零，故Aα₁,Aα₂……Aα_s线性相关．
所以A选项正确，B不正确．设α₁,α₂……α_s线性无关，若m=n，且A=E，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．
所以C不正确．若A=O，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．所以D不正确．故选A．本题也可以用秩分析．
由于(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=A(α₁,α₂……α_s)，所以r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)=r[A(α₁,α₂……α_s)]≤r(α₁,α₂……α_s)．若α₁,α₂……α_s线性相关，则r(α₁,α₂……α_s)＜s．于是r(Aα₁，Aα₂，…，Aα_s)＜s．故Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．故选项A正确．

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考研数学二

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