求下列微分方程的通解或特解:

admin2017-10-23  61

问题 求下列微分方程的通解或特解:

选项

答案(Ⅰ)属变量可分离的方程,它可以改写为 [*]=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]dx. 两端求积分,由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)一∫xcos(lnx)[*]dx=xsin(lnx)一∫cos(lnx)dx, 所以ln|y|=xsin(lnx)+ax+C1,即其通解为y=Cexsin(lnx)+ax,其中C是任意常数. (Ⅱ)属齐次微分方程.令y=xu,当x>0时,原方程可化为 [*] 两端求积分,则得arcsinu=lnx+C,即其通解为arcsin[*]=lnx+C(其中C是任意常数). 当x<0时,上面的方程变为[*]=一ln|x|+C(其中C是任意常数). 所得的通解公式也可以统一为y=|x|sin(ln|x|+C).此处还需注意,在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=4—1,即u=±x. (Ⅲ)属齐次微分方程,它可改写为 [*] 于是,将u=[*],其中C是任意常数. (Ⅳ)由初始条件y(1)=0知可在x>0上求解,即解方程y’=[*],分离变量并求积分,可得 4y+[*]y3=x(lnx一1)+C (*) 为其通解.再利用初始条件可确定C=1,于是所求特解为12y+y3=3x(lnx一1)+3.

解析
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