2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得[f(b)-f(ξ)]/(lnξ-lna)=ξf’(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得[f(b)-f(ξ)]/(lnξ-lna)=ξf’(ξ)．

admin2021-10-18  31
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得[f(b)-f(ξ)]/(lnξ-lna)=ξf’(ξ)．
选项
答案由[f(b)-f(x)]/(lnx-lna)-f’(x)/1/x，得1/xf(b)-1/xf(x)-f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx-f(x)lnlx+f(x)lna]’=0，辅助函数为φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=1/xf(b)-1/xf(x )一f’(x)lnx+f’(x)lna，所以1/ξ[f(b)-f(ξ)]-f’(ξ)(lnξ-lna)=0，即[f(b)-f(ξ)]/(lnξ-lna)-ξf’(ξ)．
解析
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考研数学二

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