2. 考研
  3. 以下3个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为

以下3个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为

admin2015-07-22  70
问题 以下3个命题：
①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
正确的个数为 (     )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n>N时，恒有
|un一A|＜ε，
则当ni>N时，恒有
|uni一A|＜ε，
因此数列{un}也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即
x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列{xn}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni>N时，恒有
|xni一A|＜ε．
由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有
一εni—A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，从而
|xn一A|＜ε．
可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．
对于命题③，因

由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2；
当2n>N1时，恒有
|x2n一A|＜ε；
当2n+1>N2时，恒有
|x2n+1一A|＜ε．
取N=max{N1，N2)，则当n>N时，总有
|xn一A|＜ε．
因此=A．可知命题正确．故答案选择(D)．
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考研数学三

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