2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3。证明：存在ξ∈(0，1／2)，η∈(1／2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3。证明：存在ξ∈(0，1／2)，η∈(1／2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。

admin2018-04-14  46
问题 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1／3。证明：存在ξ∈(0，1／2)，η∈(1／2，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。
选项
答案令F(x)=f(x)=[*]x3，则F(1)=F(0)=0。 在区间[0，1／2]和[1／2，1]上分别应用拉格朗日中值定理，可得到 F(1／2)－F(0)=F’(ξ)([*]－0)=1／2[f’(ξ)－ξ2]，ξ∈(0，1／2)， F(1)－F(1／2)=F’(η)(1－[*])=1／2[f’(η)－η2]，η∈(1／2，1)， 上面两个等式相加 F(1)－F(0)=1／2[f’(ξ)－ξ2]+1／2[f’(η)－η2]=0， 即有 f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。
解析
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考研数学二

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