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  3. 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )

设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )

admin2021-01-25  41
问题 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为(    )
选项 A、+k1(η2一η1)。
B、+k2(η2一η1)。
C、+k1(η3一η1)+k2(η2一η1)。
D、+k1(η2一η1)+k2(η3一η1)。
答案C
解析 方法一：η1，η2，η3是方程组Ax=β的三个线性无关的解向量，所以可知η2一η1，η3一η1是Ax=0的两个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系中至少含有两个线性无关的解，所以可以排除A，B两项。
    又因为是Ax=0的一个解，而不是Ax=β的解，因此可以排除D选项，所以正确答案为C。
    方法二：η1，η2，η3是方程组Ax=β的三个线性无关的解向量，所以可知η2一η1，η3一η1是Ax=0的两个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系中至少含有两个线性无关的解，因此3一r(A)≥2，故r(A)≤1。
    根据A≠0又可以得到r(A)≥1，因此可知r(A)=1，这样Ax=0的基础解系中正好含有两个线性无关的解向量，因此可知η2一η1，η3一η1是Ax=0的一个基础解系。所以Ax=0的通解为
    k1(η3一η1)+k2(η2一η1)，其中k1，k2为任意常数。
    η1，η2，η3是方程组Ax=β的解，所以是Ax=β的一个特解，所以Ax=β的通解为
    +k1(η3一η1)+k2(η2一η1)，其中k1，k2为任意常数。
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考研数学三

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