设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则( )

admin2020-03-01  43

问题 设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则(    )

选项 A、当f(x)是奇函数时,F(x)必为偶函数.
B、当f(x)是偶函数时,F(x)必为奇函数.
C、当f(x)是周期函数时,F(x)必为周期函数.
D、当f(x)是单调函数时,F(x)必为单调函数.

答案A

解析 先考虑奇偶性:因为F(x)=∫0xf(t)dt+C,所以F(一x)=∫0-xf(t)dt+C.
令u=-t,∫0-xf(t)dt+C=∫0xf(一u)d(一u)+C=一∫0xf(一u)du+C
当f(x)是奇函数时,f(一u)=-f(u),从而有
    F(一x)=∫0xf(u)du+C=F(x),即F(x)必为偶函数,故应选(A).
    (B)的反例:偶函数f(x)=cosx,F(x)=sin x+1不是奇函数;
(C)的反例:周期函数f(x)=cos2 x,F(x)=不是周期函数;
(D)的反例:(一∞,+∞)内的单调函数f(x)=x,在(一∞,+∞)内不是单调函数.
综上可知应选(A).
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