2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导， f(a)=f(b)=0，f′(a)f′(b)＞0． 试证： (Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使f″(η)=f(η)．

设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导， f(a)=f(b)=0，f′(a)f′(b)＞0． 试证： (Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使f″(η)=f(η)．

admin2015-12-22  15
问题 设f(x)在[a，b]上可导，在(a，b)内二阶可导，
    f(a)=f(b)=0，f′(a)f′(b)＞0．
    试证：
    (Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0；
    (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使f″(η)=f(η)．
选项
答案利用极限的保号性及介值定理易证(Ⅰ)．对(Ⅱ)可先作辅助函数 ψ(x)=exf(x)． 令其导数等于0，可产生 ex[f′(x)+f(x)]=0， 即 f′(x)+f(x)=0． 再作辅助函数F(x)=e-x[f(x)+f′(x)]证之． 证 (Ⅰ)由f′(a)f′(b)＞0知，f′(a)与f′(b)同号，不妨设 f′(a)＞0， f′(b)＞0， 则 [*] 又由极限的保号性知，存在x1∈(a，a+δ1)，使得f(x1)＞0；同理存在x2∈(b一δ2，b)，使得f(x2)＜0． 由连续函数的介值定理(零点定理)知，存在[*]，使得f(ξ)=0． (Ⅱ)令ψ(x)=exf(x)，则 ψ(a)=ψ(ξ)=ψ(b)． 由罗尔定理知，存在ξ1∈(a，ξ)，使 ψ′(ξ1)=[exf(x)]′∣x=ξ1=0， 即f(ξ1)+f′(ξ1)=0． 同理，存在ξ2∈(ξ，b)，使 ψ′(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f′(ξ2)]=0， 即 f(ξ2)+f′(ξ2)=0． 再令 F(x)=e-x(f(x)+f′(x))， 则 F(ξ1)=F(ξ2)=0． 对F(x)在[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理知，存在 [*] 使得 F′(x)∣x=η={一e-x[f(x)+f′(x)]+e-x[f′(x)+f″(x)])x=η =e-x[f″(x)一f(x)]∣x=η=0， 即 F′(η)=e-η[f″(η)一f(η)]=0， 亦即 f″(η)=f(η)．
解析
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考研数学二

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