两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______,它们的二面角的平分面方程为______

admin2017-12-11  14

问题 两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______,它们的二面角的平分面方程为______

选项

答案[*];x+y-4z-1=0及x-y-3=0

解析 x-2y+2z-4=0的法向量可写为n1=(1,-2,2),2x-y-2z-5=0的法向量n2=(2,-1,-2).

    求二面角的角平分面方程的方法有多种.
    方法一  用平面束方程:
    x-2y+2z-4+λ(2x-y-2z-5)=0,
即(2λ+1)z-(λ+2)y+(2-2λ)z-4-5λ=0.
它与平面x-2y+2z-4=0的二面角等于它与平面2x-y-2z-5=0的二面角.由夹角公式可得
    |2λ+1+2(2+λ)+2(2-2λ)|=|2(2λ+1)+(2+λ)-2(2-2λ)|,
即9=|9λ|,所以λ=±1,相应的两个平面如上所填.
    方法二  设点P(x,y,z)为要求的平分面上任意一点,则该点到两平面的距离相等,即


   x-2y+2z-4=±(2x-y-2z-5),
化简即得如上所填.
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