[2002年] 设齐次线性方程组 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.

admin2019-04-15  84

问题 [2002年]  设齐次线性方程组
         
其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.

选项

答案设方程组的系数矩阵为A,由式(2.1.1.1)知|A|=[a+(n-1)b](a-b)n-1. (1)当a≠b且a≠(1-n)b时,|A|≠0,方程组仅有零解. (2)当a=b时,对A进行初等行变换得到 [*] 由基础解系的简便求法,得该方程组的一个基础解系为 α1=[-1,1,0,…,0]T, α2=[-1,0,1,0,…,0]T,…,αn-1=[-1,0,…,0,1]T. 方程组的全部解为X=c1α1+c2α2+…+cn-1αn-1(c1,c2,…,cn-1为任意常数). (3)当以=(1-n)b时,对A进行初等行变换得到 [*] 由基础解系的简便求法得到其基础解系为β=[1,1,…,1]T.方程组的全部解为X=Cβ,其中C为任意常数.

解析
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