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设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3,a为正整数。 (1)若f(x1,x2,x3)是正定二次型,求a的值; (2)求正交变换x=Qy,使二次型f(x1,x2,x3)化为标准形
设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3,a为正整数。 (1)若f(x1,x2,x3)是正定二次型,求a的值; (2)求正交变换x=Qy,使二次型f(x1,x2,x3)化为标准形
admin
2021-04-16
69
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+2x
2
2
+2x
3
2
+2ax
1
x
2
+2ax
1
x
3
+2ax
2
x
3
,a为正整数。
(1)若f(x
1
,x
2
,x
3
)是正定二次型,求a的值;
(2)求正交变换x=Qy,使二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形,并写出Q。
选项
答案
(1)f(x
1
,x
2
,x
3
)的二次型矩阵为A=[*],故由|λE-A|=[*]=(λ-2-2a)(λ-2+a)
2
=0,有A的特征值为λ
1
=2+2a,λ
2
=λ
3
=2-a,由A正定,有2+2a>0,2-a>0,即-1<a<2,又a为正整数,故a=1。 (2)由(1),λ
1
=4,λ
2
=λ
3
=1。 当λ
1
=4时,[*] 得基础解系为γ
1
=(1,1,1)
T
,当λ
2
=λ
3
=1时,[*] 得基础解系为ξ
1
=(-1,1,0)
T
,ξ
2
=(-1,0,1)
T
。 将ξ
1
,ξ
2
正交化,取γ
1
=ξ
1
=(-1,1,0)
T
,γ
2
=ξ
2
-(ξ
2
,γ
2
)γ
2
/(γ
2
,γ
2
) =(-1,0,1)
T
-(1/2)(-1,1,0)
T
=(-1/2,-1/2,1)
T
。 再将γ
1
,γ
2
,γ
3
单位化: [*] 令Q=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则在x=Qy下化为4y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
。
解析
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0
考研数学三
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