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  3. 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2018-12-27  32
问题 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
选项
答案由已知得[*]故有 y’(1+x2)=1。 上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x2)(n)=0，因此由莱布尼茨公式 Cn0(y’)(n)(1+x2)+Cn1(y’)(n-1)(1+x2)’+Cn2(y’)(n-2)(1+x2)"=0， 即 (1+x2)y(n+1)+2nxy(n)+(n－1)ny(n-1)=0。 令x=0，得 y(n+1)(0)+(n－1)ny(n-1)(0)=0， 根据该递推关系，则 y(n)(0)=(1－n)(n－2)y(n-2)(0)，n≥2。 由y(0)=0，y’(0)=1及上述递推公式，得 y(2k)(0)=0，k=1，2，…； y(2k+1)(0)=( －1)k(2k)!，k=0，1，2，…。
解析
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