设函数f(x)在[－1，1]上有定义，在点x=0处可导，则fˊ(0)=0是级数收敛的( )

admin2016-04-29 39

问题设函数f(x)在[－1，1]上有定义，在点x=0处可导，则fˊ(0)=0是级数

收敛的( )

选项 A、充分必要条件
B、充分条件，而非必要条件
C、必要条件，而非充分条件
D、既非充分条件，又非必要条件

答案C

解析如果级数

收敛，则

，由此可得f(0)=0，假若fˊ(0)≠0，
不妨设fˊ(0)＞0，
则有

从而得知从某项起，级数

为正项级数，且发散，与题设矛盾，故必有fˊ(0)=0
另外当fˊ(0)=0时，未必有f(0)=0，如取f(x)=1+x²，则此时

= f(0)=1≠0，级数

发散，综上可知，选(C)．

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