设f(x,y)在点(0,0)处连续,且,其中a,b,c为常数. (Ⅰ)求f(0,0)的值. (Ⅱ)证明f(x,y)在点(0,0)处可微,并求出df(x,y)|(0,0). (Ⅲ)讨论f(x,Y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.

admin2015-05-07  48

问题 设f(x,y)在点(0,0)处连续,且,其中a,b,c为常数.
    (Ⅰ)求f(0,0)的值.
    (Ⅱ)证明f(x,y)在点(0,0)处可微,并求出df(x,y)|(0,0)
    (Ⅲ)讨论f(x,Y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.

选项

答案(Ⅰ)当(x,y)→(0,0)时ln(1+x2+y2)~x2+y2,由求极限中等价无穷小因子替换得 [*] 又由f(x,y)在点(0.0)处的连续性即得f(0.0)=[*]=a. (Ⅱ)再由极限与无穷小的关系可知 [*]=1+o(1)(o(1)为当(x,y)→(0,0)时的无穷小量)[*]f(x,y)-f(0,0)-bx-cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=o(ρ)(ρ=[*]→0), 即 f(x,y)-f(0,0)=bx+cy+o(ρ) (ρ→0). 由可微性概念[*] f(x,y)在点(0,0)处可微且df(x,y)| (0,0)=bdx+cdy. (Ⅲ)由df(x,y)| (0,0)=bdx+cdy[*] 于是当b,C不同时为零时f(x,y)在点(0,0)处不取极值. 当b=c=0时,由于 [*] 又由极限不等式性质[*]δ>0,当0<x2+y22时,[*]>0,即f(x,y)>f(0,0). 因此f(x,y)在点(0,0)处取极小值.

解析
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