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设 A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ.
设 A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ.
admin
2021-01-19
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问题
设
A=αβ
T
,B=β
T
α,其中β
T
是β的转置,求解方程
2B
2
A
2
x=A
4
x+B
4
x+γ.
选项
答案
由题设得 [*] 又 A
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=2A A
4
=(A
2
)
2
=(2A)
2
=8A 代入原方程,得 16Ax=8Ax+16x+γ 即 8(A一2E)x=γ(其中E是3阶单位矩阵). 令x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,代入上式,得非齐次线性方程组 [*] 解其对应的齐次方程组,得通解 ξ= k(11,2,1)
T
,(k为任意常数), 显然,非齐次方程组有一个特解为 η
*
=(0,0,[*])
T
于是所求方程的解为x=ξ+η
*
,即 [*] (k为任意常数)
解析
本题综合考查矩阵的运算和非齐次线性方程组的求解.注意,求方阵A的幂A
n
,可以用数学归纳法,但本题在A=αβ
T
的连乘式中会出现“左行乘右列”而得到“数”,故这里利用矩阵乘法结合律计算A
n
最易.注意方阵(A一 2E)不可逆,因此不能利用逆矩阵法由方程8(A一2E)x=γ求出x,这时就要用元素法,即设出x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,求解对应的非齐次方程组.
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考研数学二
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