设A是一个m×n矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。

admin2015-07-15 12

问题设A是一个m×n矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。

选项

答案证明：设矩阵[*]，设行空间的维数为r，列空间维数为r₁，a₁，a₂，…，a_m为矩阵A的行向量组，不妨设a₁，a₂，…，a_r为一组基，所以方程组x₁a₁+x₂a₂+…+x_ra_r=0只有零解， [*] 因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量，不妨设为(a₁₁，a₂₁，…，a_r1)，(a₁₂，a₂₂，…，a_r2)，…，(a_1r，a_2r，…，a_rr)，则它们线性无关，则(a₁₁，a₂₁，…，a_r1，…，a_m1)，(a₁₂，a₂₂，…，a_r2，…a_m2)，…，(a_1r，a_2r，…，a_rr，…_mr)也线性无关，它们正好是矩阵A的r个列向量，则矩阵A的列空间的维数r₁≥r。同理可证r≥r₁，所以r=r₁，即矩阵A行空间的维数等于它列空间的维数。

解析

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