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已知曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,求: 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;
已知曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,求: 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;
admin
2022-07-21
39
问题
已知曲面S:2x
2
+4y
2
+z
2
=4与平面π:2x+2y+z+5=0,求:
曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;
选项
答案
在曲面S上任取一点P
0
(x
0
,y
0
,z
0
),记F(x,y,z)=2x
2
+4y
2
+z
2
-4,则 F
x
(x,y,z)=4x,F
y
(x,y,z)=8y,F
z
(x,y,z)=2z 故曲面S在P
0
(x
0
,y
0
,z
0
)的切平面的法向量为n={4x
0
,8y
0
,2z
0
)=2{2x
0
,4y
0
,z
0
}. 又该切平面与平面π平行,两平面的法向量也平行,故 [*] 代入曲面S的方程得2(2y
0
)
2
+4y
0
2
+(2y
0
)
2
=4,解得y
0
=±1/2,即所求点为P
1
(-1,-1/2,-1)与P
2
(1,1/2,1),它们对应的切平面方程为 [*] 即2x+2y+z-4=0,2x+2y+z+4=0.对应的法线方程为 [*]
解析
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考研数学二
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