已知曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,求: 曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;

admin2022-07-21  47

问题 已知曲面S:2x2+4y2+z2=4与平面π:2x+2y+z+5=0,求:
曲面S上的点及其上的切平面与法线方程,使该切平面与平面π平行;

选项

答案在曲面S上任取一点P0(x0,y0,z0),记F(x,y,z)=2x2+4y2+z2-4,则 Fx(x,y,z)=4x,Fy(x,y,z)=8y,Fz(x,y,z)=2z 故曲面S在P0(x0,y0,z0)的切平面的法向量为n={4x0,8y0,2z0)=2{2x0,4y0,z0}. 又该切平面与平面π平行,两平面的法向量也平行,故 [*] 代入曲面S的方程得2(2y0)2+4y02+(2y0)2=4,解得y0=±1/2,即所求点为P1(-1,-1/2,-1)与P2(1,1/2,1),它们对应的切平面方程为 [*] 即2x+2y+z-4=0,2x+2y+z+4=0.对应的法线方程为 [*]

解析
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