已知f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且在(a,b)内存在相等的最大值,又设f(a)=g(a),f(b)=g(b),试证明:存在ξ∈(a,b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

admin2016-03-16  63

问题 已知f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且在(a,b)内存在相等的最大值,又设f(a)=g(a),f(b)=g(b),试证明:存在ξ∈(a,b)使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。

选项

答案令φ(x)=f9x)一g(x),根据f(a)=g(a),f(b)=g(b),则有φ(a)=φ(b)=0。设x1,x2∈(a,b),且[*],已知f(x)和g(x)在(a,b)内存在相等的最大值,因此f(x1)=g(x2),于是φ(x1)=f(x1)一g(x1)≥0,φ(x2)=f(x2)一g(x2)≤0。如果φ(x1)=0或φ(x2)=0,则令η=x1,或x2,有φ(η)=0;如果φ(x1)>0,φ(x2)<0,根据零点定理,存在η∈(x1,x2),使得φ(η)=0。此时φ(x)在[a,b]上有3个不同的零点a,η,b,在区间[a,η]和[η,b]上分别应用罗尔定理,则存在ξ1∈(a,η),ξ2∈(a,b),满足φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0,再在[ξ1,ξ2]上继续应用罗尔定理可知,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得φ’’(ξ)=0,即f’’(f)=g’’(ξ)。

解析
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