设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

admin2021-03-10 34

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝2ax₁x₂＋2bx₁x₃＋2cx₂x₃，该二次型的矩阵为A，

且Aα₀＝α₀．
(Ⅰ)求a，b，c；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)由题知，A＝[*]，f＝X^TAX，由Aα₀＝α₀，得[*] 从而[*]解得a＝1，b＝1，c＝－1， (Ⅱ)由(Ⅰ)得A＝[*] 由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)²＝0得λ₁＝－2，λ₂＝λ₃＝1．由－2E－A→2E＋A＝[*]得λ₁＝－2对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*] 由E－A＝[*]得λ₂＝λ₃＝1对应的线性无关的特征向量为α₂＝[*] 令β₁＝α₁＝[*]， β₂＝α₂＝[*]，β₃＝α₃－[*] 单位化得 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

考研数学二

(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex求曲线的拐点．

(2010年)设函数u＝f(χ，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式＝0．确定a，b的值，使等式在变换ξ＝χ＋ay，η＝χ＋by下简化为＝0．

[2012年]求函数f(x，y)=x的极值．

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。求容器的容积；

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，＜0，证明：方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—xxT的秩为__________。

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____________．

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

设f(χ)在[0，1]连续，且对任意χ，y∈[0，1]均有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜，M为正的常数，求证：

在数据字典中，对外部实体的定义包括外部实体名称、编号、简述及_____________。

若级数收敛(un≠0)，则必有()．

当牙周炎较重时，基础治疗前不应做的处理措施是

下列关于仲裁中的调解和民事诉讼中的调解的观点中哪些是正确的?()

设计工作正式开始前，委托方预先支付给设计人的一笔拨款在合同中规定为定金，合同履行过程中进行阶段支付时，(　　)。

不标明票面金额的股票被称为(　　)。

开户放款包括()。

储存固定成本是指与______无关的储存成本。如仓库折旧、仓库职工的固定月工资等。

Janeis______becauseshehurtherankle.

设二次型f(x1，x2，x3)＝2ax1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，该二次型的矩阵为A，且Aα0＝α0． (Ⅰ)求a，b，c； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得二次型在变换X＝QY下化为标准形．

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(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex求曲线的拐点．

(2010年)设函数u＝f(χ，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式＝0．确定a，b的值，使等式在变换ξ＝χ＋ay，η＝χ＋by下简化为＝0．

[2012年]求函数f(x，y)=x的极值．

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。求容器的容积；

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，＜0，证明：方程f(x)+f"(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—xxT的秩为__________。

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____________．

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设f(χ)在[0，1]连续，且对任意χ，y∈[0，1]均有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜，M为正的常数，求证：

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不标明票面金额的股票被称为( )。

开户放款包括()。

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不标明票面金额的股票被称为(　　)。