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  3. 证明：A～B，其中 并求可逆阵P，使得P－1AP=B．

证明：A～B，其中 并求可逆阵P，使得P－1AP=B．

admin2016-09-19  33
问题 证明：A～B，其中

并求可逆阵P，使得P－1AP=B．
选项
答案由A知，A的全部特征值是1，2，…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B． 由于λ1=1时，(λ1E－A)X=0，有特征向量ξ1=[1，0，…，0]T； λ2=2时，(λ2E－A)X=0，有特征向量ξ2=[0，1，…，0]T； …… λn=n时，(λnE－A)X=0，有特征向量ξn=[0，0，…，1]T． 故有 Aξn=nξn，Aξn－1=(n－1)ξn－1，…，Aξ1=ξ1， 即 A[ξn，ξn－1，ξ1]=[nξn，(n－1)ξn－1，ξ1]=[ξn，ξn－1，ξ1][*] 故得可逆阵 P=[ξn，ξn－1，ξ1]=[*] 有 P－1AP=B．
解析
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考研数学三

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