首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素aii=i.j,求 A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
admin
2014-04-23
38
问题
设A是n阶矩阵,A的第i行、第i列的元素a
ii
=i.j,求
A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.
选项
答案
由A的特征多项式[*]故A有特征值.[*]当λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0时,方程组(λE一A)x=0就是方程组Ax=0,其同解方程组是x
1
+2x
2
+…+nx
n
=0,解得对应的线性无关特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0,1]
T
.当[*]时,(λ
n
E—A)x=0,对系数矩阵作初等行变换,得 [*][*] 方程组的同解方程组为[*]得对应的特征向量为ξ
n
=[1,2,…,n]
T
.从而知A有n个线性无关特征向量,A~A,取 [*]则 [*] 法二 (I)由题设条件[*]中第i行元素是第1行的i倍.故有[*]其中α=[1,2,…,n]
T
≠0.故r(A)=1. (Ⅱ)因A
2
=(αα
T
)(αα
T
)=α(α
T
α)α
T
=(α
T
α)A=[*],故知A的特征值为0,[*]当λ=0时,对应的特征向量满足Ax=αα
T
x=0,因α
T
α.[*] 在方程αα
T
x=0两边左乘α
T
.得 α
T
(αα
T
x)=(α
T
α)α
T
x=0。得α
T
x=0.当α
T
x=0时,两边左乘α,得αα
T
x=0,故方程组为αα
T
x=0与α
T
x=0是同解方程组.只需解方程组α
T
x=0,解得线性无关的特征向量为ξ
1
=[一2,1,0,…,0]
T
,ξ
2
=[一3,0,1,0,…,0]
T
,…,ξ
n-1
=[一n,0,…,0.]
T
.又[*]故A有一个非零特征值[*]当[*]时,由(λ
n
E—A)X=(α
T
αE—αα
T
)x=0。由观察知,x=α时,有(α
T
αE一αα
T
)α=(α
T
α)α=(αα
T
)α=(α
T
α)α=α(α
T
α)=0,故α=[1,2,…,n]
T
=ξ
n
是对应[*]的特征向量.即A有n个线性无关的特征向量,A能相似于对角阵.(下同方法一)
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/NEcRFFFM
0
考研数学一
相关试题推荐
如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解,设C1与C2是任意常数,则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是()的解
求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
曲线的极坐标方程为r=a(1+cosθ),求该曲线上对应于θ=π/6处的切线的直角坐标方程.
设广义积分收敛,则α的范围为().
设f(x)是周期为4的奇函数,可导且f’(x)=2(x-1),x∈[0,2],求曲线y=f(x)在点(7,f(7))处的切线方程。
设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则下列命题错误的是()。
适当选取函数ψ(x),作变量代换y=ψ(x)u,将y关于x的微分方程化为u关于x的二阶常系数齐次线性微分方程,求ψ(x)及常数λ,并求原方程满足y(0)=1,y’(0)=0的特解.
一辆机场交通车载有25名乘客途经9个站,每位乘客都等可能在这9个站中任意一站下车(且不受其他乘客下车与否的影响),交通车只在有乘客下车时才停车,令随机变量Yi表示在第i站下车的乘客数,i=1,2,…,Xi在有乘客下车时取值为1,否则取值为0.求:(Xi
Y服从参数X的指数分布,而X是服从[1,2]上的均匀分布的随机变量.求P{Y≤X}.
设二随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量U=X+Y与V=X-Y不相关的充分必要条件为()
随机试题
Wemaybeverypleasedwiththerapidprogresswehavemadeineveryfieldofstudy.Butthewaytotestastudent’sknowledgea
西咪替丁为什么在餐时和睡前服用()
在下列会计凭证中,属于记账凭证的是()。
与其他股利分配政策相比,企业选择剩余股利政策,通常比较有利于()。
在你以往的经历中,对你影响最大的是哪一阶段?为什么?
采用比较参谋方法,必须实事求是,不能带有个人偏见,这要求在采用比较参谋方法时要注重比较分析的()。
中国共产党领导是多党合作的首要前提和根本保证。这里的领导主要是()
下列关于BGP协议的描述中,错误的是()。
单个用户使用的数据视图的描述称为
有关计算机软件,下列说法错误的是()。
最新回复
(
0
)